Upper Integral

释义 Definition

上积分：在实分析中，对有界函数 (f) 在区间上的“积分上界”概念，通常指 Darboux 上积分——所有“上和”（upper sums）的下确界（infimum）。它与下积分（lower integral）一起用于刻画函数是否可黎曼可积：当上积分 = 下积分时，函数（在该区间上）黎曼可积。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈʌpər ˈɪntɪɡrəl/

例句 Examples

The upper integral can be larger than the lower integral.
上积分可能大于下积分。

If a bounded function has equal upper integral and lower integral on ([a,b]), then it is Riemann integrable on that interval.
如果一个有界函数在 ([a,b]) 上的上积分与下积分相等，那么它在该区间上是黎曼可积的。

词源 Etymology

upper 来自古英语 ūpper，表示“较高的、上面的”；integral 源自拉丁语 integer（“完整的”），在数学语境中引申为“整体的量”，后用于“积分”这一概念。upper integral 字面即“上方的积分（上界意义上的积分）”，用于强调它来自对“上和”的极限/界。

相关词 Related Words

• Upper Sum
• Lower Integral
• Lower Sum
• Darboux Integral
• Riemann Integral
• Supremum
• Infimum
• Partition

文学与著作 Works

• Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）——在讨论黎曼积分与上、下和（Darboux 理论）时出现相关术语与定义。
• Mathematical Analysis（Tom M. Apostol）——在积分理论基础部分使用上积分/下积分框架来刻画可积性。
• Introduction to Real Analysis（Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert）——在讲解黎曼可积判别时涉及上积分与下积分的思想。